Regnehjælpen
Investering

Black-Scholes Beregner | Optionsprisfastsættelse

Beregn fair-prisen på call- og put-optioner med Black-Scholes-modellen. Se optionspris og Greeks: delta, gamma, theta, vega og rho.

Black-Scholes-modellen er grundstenen i moderne optionsprisfastsættelse. Med denne beregner kan du finde den teoretiske fair-pris på europæiske call- og put-optioner — og få de fem Greeks der beskriver, hvordan prisen reagerer på kurs-, tids- og volatilitetsændringer.

Beregn optionspris med Black-Scholes

Black-Scholes gælder kun europæiske optioner og forudsætter konstant volatilitet og risikofri rente.

kr.
kr.

= 0,50 år

%

Standard: 3,25% (dansk 10-årig statsobligation, 2024)

%

Sæt til 0 for aktier uden løbende udbytte

%

Dansk large-cap: typisk 15–35% · S&P 500 historisk: ~20%

Call-option

62,31

kr. per aktie

I pengene (ITM)

Put-option

34,57

kr. per aktie

Ude af pengene (OTM)

Hjælpeværdier

d₁ = 0,4112d₂ = 0,2345

Optionsgrækerne (Greeks)

GreekCallPut
Δ DeltaKurs-følsomhed (0–1)0,7196-0,2804
Γ GammaDelta-ændring · fælles0,0041480,004148
Θ ThetaTidsforfald pr. dag (kr.)-0,1153-0,0732
V Vegapr. 1% vol.-ændring · fælles1,29611,2961
ρ Rhopr. 1% rente-ændring1,4874-0,8739

S₀=500 kr. · X=480 kr. · t=0,50 år · r=3,25% · q=0,0% · σ=25,0%

Dette værktøj er udelukkende til informationsformål og udgør ikke finansiel rådgivning. Black-Scholes-modellen er en teoretisk model med begrænsninger — faktiske optionspriser kan afvige fra den beregnede værdi. Tal altid med en rådgiver før du handler med optioner eller andre derivater.

Sådan fungerer Black-Scholes

Black-Scholes-modellen (BSM) beregner den teoretiske fair-pris på en europæisk option ud fra fem parametre: aktiekurs, strike-pris, løbetid, risikofri rente og volatilitet. Modellen antager, at aktiekursen følger en geometrisk brownsk bevægelse med konstant volatilitet.

Formlerne

Beregningen starter med to hjælpeværdier, d₁ og d₂, der beskriver sandsynligheden for at optionen udnyttes ved udløb i en risikoneutral verden. Call-prisen er nutidsværdien af det forventede afkast minus nutidsværdien af betalingen ved udnyttelse. Put-prisen beregnes analogt — og de to priser er altid bundet sammen af put-call-paritet.

Greeks — optionernes følsomhedsmål

Delta (Δ) angiver, hvor meget optionsprisen ændrer sig ved en krone-stigning i aktiekursen. En call-delta på 0,66 betyder at call-optionen stiger 0,66 kr. for hver 1 kr. aktien stiger. Delta bruges til delta-hedging af optionspositioner.

Gamma (Γ) er delta's ændringshastighed — jo tættere på ATM og jo kortere løbetid, desto højere gamma. Høj gamma betyder at delta ændrer sig hurtigt, hvilket kræver hyppigere rebalancering af en hedget position.

Theta (Θ) er tidsforfald: det beløb optionen mister pr. dag, alt andet lige. Theta er typisk negativ — optioner mister værdi med tidens gang, da der er mindre tid til at aktien kan bevæge sig favorabelt.

Vega (V) er følsomheden over for volatilitet. En høj vega betyder at optionsprisen er meget følsom over for ændringer i implicit volatilitet. Vega er altid positiv for både call og put.

Rho (ρ) er følsomheden over for renteændringer. Call har positiv rho (stiger med renten), put har negativ rho. Rho har størst betydning for langfristede optioner.

Hvornår holder modellen ikke?

Black-Scholes-modellen er udledt under en række idealiserede antagelser. I praksis varierer volatiliteten over tid og er forskellig på tværs af strikes — det der kaldes "volatility smile". Modellen gælder heller ikke for amerikanske optioner der kan udnyttes før udløb, eller for optioner på aktiver med diskrete udbyttebetalinger. Brug altid modellens output som et udgangspunkt — ikke som et facit.

Ofte stillede spørgsmål

Hvad er Black-Scholes-modellen?
Black-Scholes-modellen (BSM) er en matematisk model til prisfastsættelse af europæiske optioner, udviklet af Fischer Black og Myron Scholes i 1973. Modellen beregner den teoretiske fair-pris på en option baseret på fem parametre: aktiens nuværende kurs, udnyttelseskurs, løbetid, risikofri rente og volatilitet. Scholes modtog Nobelprisen i økonomi i 1997 for arbejdet.
Hvad er forskellen på en call- og put-option?
En call-option giver dig retten — men ikke pligten — til at købe en aktie til en aftalt pris (strike) inden udløb. Du tjener på en call, når aktiekursen stiger over strike. En put-option giver dig retten til at sælge til strike-prisen — og er værdifuld, når aktiekursen falder under strike. Black-Scholes beregner den teoretiske pris for begge typer.
Hvad er de fem Greeks, og hvad bruger man dem til?
Greeks er følsomhedsmål der beskriver, hvordan optionsprisen ændrer sig ved ændringer i de underliggende parametre. Delta (Δ) angiver prisstigningen ved 1 kr. kursstigning. Gamma (Γ) angiver, hvor hurtigt delta ændrer sig. Theta (Θ) er tidsforfald — hvad optionen taber pr. dag alt andet lige. Vega (V) viser følsomheden over for volatilitetsændringer. Rho (ρ) er følsomheden over for renteændringer. Greeks bruges til at hedging og risikostyring af optionspositioner.
Hvad er "in the money", "at the money" og "out of the money"?
Moneyness beskriver forholdet mellem aktiekurs og strike-pris. En call er "in the money" (ITM) når aktiekursen er over strike — den har øjeblikkelig indre værdi. Den er "at the money" (ATM) når kurserne er omtrent ens, og "out of the money" (OTM) når aktiekursen er under strike. For put-optioner er logikken omvendt: en put er ITM, når aktiekursen er under strike.
Hvad er implicit volatilitet, og hvordan finder jeg den?
Implicit volatilitet (IV) er den volatilitet, som markedet "priser ind" i en option — den value af σ der får Black-Scholes til at give den observerede markedspris. I modsætning til historisk volatilitet er IV fremadskuende. Du kan finde IV for børsnoterede optioner via din mægler eller finansielle databaser. Som reference svinger store amerikanske aktier typisk med 20–40% IV, mens brede indeks ligger lavere.
Hvad er begrænsningerne ved Black-Scholes?
Black-Scholes antager konstant volatilitet og risikofri rente over løbetiden, normalfordelte afkast, ingen transaktionsomkostninger og kontinuerlig handel. Disse antagelser holder sjældent i praksis. Modellen undervurderer risikoen for ekstreme bevægelser ("fat tails"), og den gælder kun for europæiske optioner — ikke amerikanske, der kan udnyttes før udløb. Praktikermodeller som Heston-modellen håndterer varierende volatilitet bedre, men er langt mere komplekse.

Relaterede beregnere

📈

Sharpe Ratio Beregner

Beregn Sharpe ratio for din portefølje. Mål dit risikojusterede afkast og sammenlign investeringer på et fælles grundlag.

 📈

Value at Risk Beregner (VaR)

Beregn Value at Risk (VaR) for din investeringsportefølje. Find det maksimale forventede tab over en given periode med valgfrit konfidensniveau.